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### **归并排序的时间和空间复杂度计算**
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#### **时间复杂度计算**
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归并排序遵循分治思想，将数组分为两半递归处理，然后合并两个有序数组。
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1. **分解过程**
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- 将数组分为两半，分解所需的时间是常数级别的 \(O(1)\)。
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- 每次分解数组的大小减半，分解的层数为 \(\log_2 n\)，因此分解过程的时间复杂度为 \(O(\log n)\)。
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2. **合并过程**
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- 每层需要合并 \(n\) 个元素，合并操作为线性时间 \(O(n)\)。
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- 合并层数与分解层数相同，也为 \(\log_2 n\)。
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3. **总时间复杂度**
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- 每层合并耗时 \(O(n)\)，共有 \(\log_2 n\) 层。
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- 因此，总时间复杂度为：
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\[
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T(n) = O(n \log n)
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\]
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#### **空间复杂度计算**
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1. **临时数组**
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- 在合并过程中，需要额外的数组来存储左右子数组。每次合并的数组总大小是 \(n\)。
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- 因此，临时数组占用的空间复杂度为 \(O(n)\)。
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2. **递归栈空间**
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- 每次递归调用会占用栈空间，递归深度为 \(\log_2 n\)。
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- 递归栈空间的复杂度为 \(O(\log n)\)。
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3. **总空间复杂度**
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- 临时数组和递归栈空间的复杂度之和为：
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\[
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O(n) + O(\log n) = O(n)
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\]
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### **快速排序的时间和空间复杂度计算**
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#### **时间复杂度计算**
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快速排序通过选择一个基准元素，将数组分为两部分，然后递归处理这两部分。
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1. **划分过程**
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- 每次划分时，需要遍历整个数组来确定小于和大于基准的部分。
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- 划分的时间复杂度为 \(O(n)\)。
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2. **递归深度**
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- **最好情况**：每次划分将数组均匀分成两部分，递归深度为 \(\log_2 n\)。
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- **最坏情况**：每次划分时，只有一个元素进入子数组，递归深度为 \(n\)。
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3. **总时间复杂度**
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- **最好情况**：
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T(n) = n + \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \cdots + 1 = O(n \log n)
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- **最坏情况**：
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\[
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T(n) = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = O(n^2)
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\]
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- **平均情况**：
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通过数学期望分析，平均时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。
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#### **空间复杂度计算**
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1. **原地排序**
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- 快速排序在划分数组时，直接在原数组上操作，因此额外空间复杂度为 \(O(1)\)。
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2. **递归栈空间**
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- **最好情况**：划分均匀时，递归深度为 \(\log_2 n\)，栈空间复杂度为 \(O(\log n)\)。
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- **最坏情况**：每次划分仅一个元素进入子数组，递归深度为 \(n\)，栈空间复杂度为 \(O(n)\)。
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3. **总空间复杂度**
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- **最好情况**：
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\[
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O(\log n)
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\]
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- **最坏情况**：
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\[
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O(n)
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### **对比总结**
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| **算法** | **时间复杂度（最好）** | **时间复杂度（最坏）** | **时间复杂度（平均）** | **空间复杂度（额外）** |
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| **归并排序** | \(O(n \log n)\) | \(O(n \log n)\) | \(O(n \log n)\) | \(O(n)\) |
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| **快速排序** | \(O(n \log n)\) | \(O(n^2)\) | \(O(n \log n)\) | \(O(\log n)\) |
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通过以上计算，快速排序在平均情况下效率更高，但需要优化基准选择以避免最坏情况。归并排序虽然时间复杂度稳定，但占用更多的空间。 |