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以下是最长公共子序列（LCS）和最小编辑距离两个算法的基本思想、分析和时间复杂度计算：
1. 最长公共子序列（LCS）
基本思想
最长公共子序列（LCS）的核心是通过动态规划构建一个二维表，记录两个字符串在不同前缀长度下的公共子序列的最大长度。
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定义状态：
设dp[i][j]表示字符串X[0:i]和Y[0:j]的最长公共子序列长度。 -
状态转移方程：
- 如果 ( X[i-1] == Y[j-1] )：说明当前字符可以纳入公共子序列：
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1- 如果 ( X[i-1] \neq Y[j-1] )：说明当前字符不匹配，取之前子问题的最大值：
dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
- 如果 ( X[i-1] == Y[j-1] )：说明当前字符可以纳入公共子序列：
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初始条件：
dp[i][0] = 0和 ( dp[0][j] = 0 )，表示任意一个字符串和空串的最长公共子序列长度为 0。 -
最终结果：
dp[m][n]表示X和Y的最长公共子序列长度，其中m, n分别为X和Y的长度。
算法分析
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时间复杂度：
构造dp表需要遍历m \times n的网格，其中m和n是两个字符串的长度。因此时间复杂度为 ( O(m \times n) )。 -
空间复杂度：
二维表dp的空间复杂度为 ( O(m \times n) )。若只需要结果，可以优化为一维数组，降低到 ( O(\min(m, n)) )。
2. 最小编辑距离
基本思想
最小编辑距离的目的是计算将字符串 A 转换为字符串 B 的最小操作次数（插入、删除、替换）。同样使用动态规划构建一个二维表解决。
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定义状态：
dp[i][j]表示将A[0:i]转换为B[0:j]的最小操作次数。 -
状态转移方程：
- 如果 ( A[i-1] == B[j-1] )：当前字符无需修改：
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]- 如果 ( A[i-1] \neq B[j-1] )：需要考虑三种操作：
- 插入：将
B[j-1]插入到A[0:i]的末尾：dp[i][j] = dp[i][j-1] + 12. **删除**：删除 \( A[i-1] \)：dp[i][j] = dp[i-1][j] + 13. **替换**：将 \( A[i-1] \) 替换为 \( B[j-1] \)：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1取三种操作的最小值：
dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
- 如果 ( A[i-1] == B[j-1] )：当前字符无需修改：
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初始条件：
dp[i][0] = i表示将A[0:i]转换为空串需要删除i次，
dp[0][j] = j表示将空串转换为B[0:j]需要插入j次。 -
最终结果：
dp[m][n]表示从A转换为B的最小编辑距离，其中m, n分别为A和B的长度。
算法分析
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时间复杂度：
与 LCS 相同，需要构造一个m \times n的动态规划表，时间复杂度为 ( O(m \times n) )。 -
空间复杂度：
二维表的空间复杂度为 ( O(m \times n) )。通过滚动数组优化，可以降低到 ( O(\min(m, n)) )。
对比总结
| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 核心思想 |
|---|---|---|---|
| 最长公共子序列 | O(m \times n) |
O(m \times n) |
构建二维表，利用匹配与不匹配分治求解 |
| 最小编辑距离 | O(m \times n) |
O(m \times n) |
通过插入、删除、替换操作递归求解 |
这两个算法均使用动态规划解决，思想和实现类似，但问题背景不同：
- LCS 关注的是匹配字符的最大子序列长度。
- 最小编辑距离则是计算最少操作次数。