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好的，下面是对修正后的 **Prim 算法** 实现代码的逐行解析：
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### 代码
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```python
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import heapq
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```
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- 引入 `heapq` 库来使用优先队列（最小堆），该库提供了堆的基本操作，如插入元素和取出最小值。
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```python
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class Graph:
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def __init__(self, vertices):
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self.V = vertices # 顶点数
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self.graph = [] # 存储边的列表
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```
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- **`Graph` 类**：表示图的结构，构造函数 `__init__` 初始化图，接收顶点数量 `vertices` 作为参数。
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- `self.V`：存储图的顶点数。
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- `self.graph`：一个空列表，用来存储图的所有边。
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```python
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def add_edge(self, u, v, weight):
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self.graph.append([u, v, weight])
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```
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- **`add_edge` 方法**：向图中添加一条边。每条边由起点 `u`、终点 `v` 和边的权重 `weight` 构成，并存储为一个三元组 `[u, v, weight]`。
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```python
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def prim_mst(self):
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mst_set = [False] * self.V # 记录是否已加入 MST
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edge_heap = [(0, 0, -1)] # (权值, 顶点, 父节点) (-1 表示起始节点无父节点)
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total_cost = 0
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mst_edges = []
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```
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- **`prim_mst` 方法**：实现 Prim 算法，计算图的最小生成树（MST）。
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- `mst_set`：一个布尔列表，初始化为 `False`，用于记录每个顶点是否已经加入到生成树中。
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- `edge_heap`：一个最小堆，用于存储候选的边，每个元素是一个三元组 `(权值, 顶点, 父节点)`。初始时，将起点 `0` 的权值设为 `0`，父节点为 `-1`。
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- `total_cost`：记录生成树的总权重。
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- `mst_edges`：用于存储最小生成树的边。
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```python
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while edge_heap and len(mst_edges) < self.V - 1:
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weight, u, parent = heapq.heappop(edge_heap)
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if mst_set[u]: # 忽略已在 MST 中的节点
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continue
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```
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- **`while edge_heap and len(mst_edges) < self.V - 1`**：循环直到最小生成树包含 `V-1` 条边，或者没有更多的边可供选择。
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- `heapq.heappop(edge_heap)`：从最小堆中取出权值最小的边（`weight, u, parent`）。
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- `if mst_set[u]`: 如果当前顶点 `u` 已经在最小生成树中，跳过这个顶点。
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```python
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mst_set[u] = True
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total_cost += weight
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```
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- `mst_set[u] = True`：将顶点 `u` 标记为已加入最小生成树。
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- `total_cost += weight`：将当前边的权重 `weight` 加到 `total_cost` 上。
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```python
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if parent != -1:
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mst_edges.append((parent, u, weight))
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```
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- `if parent != -1`：只有在顶点 `u` 的父节点不为 `-1` 时，才将该边添加到 `mst_edges` 中。起始节点 `0` 的父节点为 `-1`，不会记录为边。
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```python
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for v, w in self._adjacent_edges(u):
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if not mst_set[v]:
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heapq.heappush(edge_heap, (w, v, u))
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```
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- **`_adjacent_edges` 方法**（稍后分析）返回与顶点 `u` 相连的所有边。
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- 遍历与 `u` 相邻的所有顶点 `v` 和边的权重 `w`，如果 `v` 尚未加入最小生成树 (`mst_set[v] == False`)，则将边 `(w, v, u)` 添加到优先队列中。
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```python
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return total_cost, mst_edges
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```
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- 返回最小生成树的总权重 `total_cost` 和所有的生成树边 `mst_edges`。
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```python
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def _adjacent_edges(self, u):
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# 返回与顶点 u 相连的所有边
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return [(v, weight) for (u_, v, weight) in self.graph if u_ == u] + \
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[(u, weight) for (u, v_, weight) in self.graph if v_ == u]
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```
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- **`_adjacent_edges` 方法**：返回所有与顶点 `u` 相连的边。由于图是无向图，因此需要分别查找以 `u` 为起点的边和以 `u` 为终点的边。
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```python
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def kruskal_mst(self):
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self.graph.sort(key=lambda x: x[2]) # 按权值排序
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parent = list(range(self.V))
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rank = [0] * self.V
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```
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- **`kruskal_mst` 方法**：实现 Kruskal 算法，计算图的最小生成树。
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- `self.graph.sort(key=lambda x: x[2])`：首先按边的权重对图中的所有边进行排序。
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- `parent`：初始化每个顶点的父节点为自身（使用并查集结构）。
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- `rank`：用于优化并查集的秩（深度）信息，避免树的高度过高。
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```python
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def find(u):
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if parent[u] != u:
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parent[u] = find(parent[u])
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return parent[u]
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```
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- **`find` 函数**：实现并查集中的查找操作，查找顶点 `u` 的根节点，并通过路径压缩优化查找过程。
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```python
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def union(u, v):
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root_u = find(u)
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root_v = find(v)
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if rank[root_u] > rank[root_v]:
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parent[root_v] = root_u
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elif rank[root_u] < rank[root_v]:
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parent[root_u] = root_v
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else:
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parent[root_v] = root_u
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rank[root_u] += 1
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```
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- **`union` 函数**：实现并查集中的合并操作，将两个集合合并为一个集合。
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- 根据秩优化合并操作，将较小的树合并到较大的树下面，保持树的平衡。
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```python
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mst_edges = []
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total_cost = 0
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```
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- 初始化最小生成树的边列表 `mst_edges` 和总权重 `total_cost`。
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```python
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for u, v, weight in self.graph:
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if find(u) != find(v):
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union(u, v)
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mst_edges.append((u, v, weight))
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total_cost += weight
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```
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- 遍历所有的边，对于每一条边，如果边的两个端点属于不同的集合（即不在同一连通分量中），就将这条边加入最小生成树。
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- 使用 `find(u) != find(v)` 判断是否属于不同的集合，若是，则合并它们。
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- 将边 `(u, v, weight)` 加入到 `mst_edges` 中，并累加权重 `weight` 到 `total_cost`。
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```python
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return total_cost, mst_edges
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```
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- 返回 Kruskal 算法的总权重 `total_cost` 和生成树的边 `mst_edges`。
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### **总结**
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- **Prim 算法**：通过最小堆逐步选择连接最小生成树的边，最终得到最小生成树。
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- **Kruskal 算法**：通过边的权值排序和并查集来逐步选择最小的边，最终得到最小生成树。
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两种算法的核心思想不同，但最终目标相同，都是求出图的最小生成树。 |