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### **算法基本思想**
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#### **Prim 算法**
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Prim 算法是一种贪心策略构建最小生成树的方法。
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- **核心思想**：
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从任意一个顶点开始，逐步将权值最小的边加入生成树，同时保证生成树不会形成环。
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- **步骤**：
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1. 初始化一个集合 `MST`，用于存储已包含在生成树中的顶点。
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2. 从起始顶点出发，将所有与之相连的边放入一个优先队列（最小堆）。
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3. 每次从优先队列中取出权值最小的边，若该边的目标顶点不在 `MST` 中，则将该顶点加入 `MST`，并将与该顶点相连的边加入优先队列。
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4. 重复此过程，直到所有顶点都包含在生成树中。
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- **时间复杂度**：
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- 使用邻接矩阵：\( O(V^2) \)
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适用于稠密图。
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- 使用邻接表+最小堆：\( O(E \log V) \)
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适用于稀疏图，其中 \( V \) 是顶点数，\( E \) 是边数。
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#### **Kruskal 算法**
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Kruskal 算法是一种基于边的贪心策略构建最小生成树的方法。
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- **核心思想**：
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按照权值从小到大排序所有边，然后逐步选取不形成环的边，直到构建出最小生成树。
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- **步骤**：
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1. 将所有边按照权值从小到大排序。
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2. 初始化一个并查集，用于判断两个顶点是否属于同一连通分量。
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3. 从权值最小的边开始，依次检查该边是否会形成环：
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- 如果不会形成环（即边的两个顶点不在同一集合中），将该边加入生成树，并合并两个顶点所属的集合。
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- 否则，跳过该边。
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4. 重复此过程，直到生成树包含 \( V-1 \) 条边。
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- **时间复杂度**：
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- 边排序：\( O(E \log E) \)，因为需要对所有边进行排序。
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- 并查集操作：近似 \( O(E \log V) \)，其中查找和合并操作效率很高（接近常数时间）。
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- 总时间复杂度：\( O(E \log E + E \log V) \)。由于 \( E \log E \geq E \log V \)，可以简化为 \( O(E \log E) \)。
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### **算法比较**
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| **算法** | **适用场景** | **时间复杂度** | **特点** |
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| **Prim 算法** | 稠密图，适合用邻接矩阵 | \( O(V^2) \) 或 \( O(E \log V) \) | 基于顶点，逐步扩展生成树；实现相对简单，适合稠密图时直接用邻接矩阵表示。 |
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| **Kruskal 算法**| 稀疏图，适合用边列表 | \( O(E \log E) \) | 基于边，灵活性更高；需要先排序所有边，适合稀疏图。 |
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两种算法在不同场景下都可用，但通常 **Prim 更适合稠密图，Kruskal 更适合稀疏图**。 |