Prim-and-Kruskal/gpt/conception.md

算法基本思想

Prim 算法

Prim 算法是一种贪心策略构建最小生成树的方法。

• 核心思想：
  从任意一个顶点开始，逐步将权值最小的边加入生成树，同时保证生成树不会形成环。

• 步骤：

  1. 初始化一个集合 MST，用于存储已包含在生成树中的顶点。
  2. 从起始顶点出发，将所有与之相连的边放入一个优先队列（最小堆）。
  3. 每次从优先队列中取出权值最小的边，若该边的目标顶点不在 MST 中，则将该顶点加入 MST，并将与该顶点相连的边加入优先队列。
  4. 重复此过程，直到所有顶点都包含在生成树中。

• 时间复杂度：

  • 使用邻接矩阵：O(V^2)
    适用于稠密图。
  • 使用邻接表+最小堆：O(E \log V)
    适用于稀疏图，其中 V 是顶点数，E 是边数。

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Kruskal 算法

Kruskal 算法是一种基于边的贪心策略构建最小生成树的方法。

• 核心思想：
  按照权值从小到大排序所有边，然后逐步选取不形成环的边，直到构建出最小生成树。

• 步骤：

  1. 将所有边按照权值从小到大排序。
  2. 初始化一个并查集，用于判断两个顶点是否属于同一连通分量。
  3. 从权值最小的边开始，依次检查该边是否会形成环：
     • 如果不会形成环（即边的两个顶点不在同一集合中），将该边加入生成树，并合并两个顶点所属的集合。
     • 否则，跳过该边。
  4. 重复此过程，直到生成树包含 V-1 条边。

• 时间复杂度：

  • 边排序：( O(E \log E) )，因为需要对所有边进行排序。
  • 并查集操作：近似 ( O(E \log V) )，其中查找和合并操作效率很高（接近常数时间）。
  • 总时间复杂度：( O(E \log E + E \log V) )。由于 ( E \log E \geq E \log V )，可以简化为 ( O(E \log E) )。

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算法比较

算法	适用场景	时间复杂度	特点
Prim 算法	稠密图，适合用邻接矩阵	O(V^2) 或 O(E \log V)	基于顶点，逐步扩展生成树；实现相对简单，适合稠密图时直接用邻接矩阵表示。
Kruskal 算法	稀疏图，适合用边列表	O(E \log E)	基于边，灵活性更高；需要先排序所有边，适合稀疏图。

两种算法在不同场景下都可用，但通常 Prim 更适合稠密图，Kruskal 更适合稀疏图。