2.5 KiB
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Prim算法
时间复杂度
Prim算法的时间复杂度取决于图的存储方式和优先队列的使用：
-
邻接矩阵表示：
- 每次选择最小权值的边需要遍历所有顶点，时间复杂度为 ( O(V^2) )。
- 适合稠密图（边较多时，通常 ( E \approx V^2 )）。
-
邻接表表示 + 最小堆：
- 初始化堆时，将所有边加入堆的时间复杂度为 ( O(V \log V) )。
- 在堆中插入或删除边的操作为 ( O(\log V) )，遍历所有边需要 ( O(E \log V) )。
- 总复杂度为 ( O(E \log V) )，适合稀疏图（边较少时，通常 ( E \ll V^2 )）。
空间复杂度
- 邻接矩阵表示：
O(V^2)用于存储所有顶点间的权值信息。 - 邻接表表示 + 最小堆：
- 邻接表占用 ( O(V + E) )。
- 优先队列（最小堆）需要
O(V)的空间。 - 总空间复杂度为 ( O(V + E) )。
Kruskal算法
时间复杂度
Kruskal算法的时间复杂度主要由以下部分组成：
- 边排序：
- 使用快速排序或堆排序对
E条边排序，时间复杂度为 ( O(E \log E) )。
- 使用快速排序或堆排序对
- 并查集操作：
- 查找和合并操作的时间复杂度为 ( O(\alpha(V)) )（近似常数），每条边最多进行一次，整体为 ( O(E \cdot \alpha(V)) )。
- 其中
\alpha(V)是反Ackermann函数，增长极慢，可认为是一个很小的常数。
总时间复杂度：
- ( O(E \log E + E \cdot \alpha(V)) )。
- 由于 ( E \log E \geq E \cdot \alpha(V) )，最终复杂度可以简化为 ( O(E \log E) )。
空间复杂度
- 用于存储所有边的列表：( O(E) )。
- 并查集数组（parent 和 rank）：( O(V) )。
- 总空间复杂度为 ( O(E + V) )。
时间和空间复杂度对比
| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| Prim 算法 | O(V^2) 或 O(E \log V) |
O(V^2) 或 O(V + E) |
稠密图/稀疏图 |
| Kruskal 算法 | O(E \log E) |
O(E + V) |
较稀疏的图 |
总结：
- 稠密图（( E \approx V^2 )）：Prim 算法使用邻接矩阵效果更好。
- 稀疏图（( E \ll V^2 )）：Kruskal 算法效率更高，且更易实现。