commit 25653141cb89d24f1197e0bf0044518b7965f4ef
Author: fly6516 <fly6516@outlook.com>
Date:   Mon Dec 16 16:42:11 2024 +0800

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diff --git a/gpt/complex.md b/gpt/complex.md
new file mode 100644
index 0000000..d0098c3
--- /dev/null
+++ b/gpt/complex.md
@@ -0,0 +1,55 @@
+### **Prim算法**
+
+#### **时间复杂度**
+Prim算法的时间复杂度取决于图的存储方式和优先队列的使用：  
+
+1. **邻接矩阵表示**：  
+   - 每次选择最小权值的边需要遍历所有顶点，时间复杂度为 \( O(V^2) \)。  
+   - 适合**稠密图**（边较多时，通常 \( E \approx V^2 \)）。
+
+2. **邻接表表示 + 最小堆**：  
+   - 初始化堆时，将所有边加入堆的时间复杂度为 \( O(V \log V) \)。  
+   - 在堆中插入或删除边的操作为 \( O(\log V) \)，遍历所有边需要 \( O(E \log V) \)。  
+   - 总复杂度为 \( O(E \log V) \)，适合**稀疏图**（边较少时，通常 \( E \ll V^2 \)）。
+
+#### **空间复杂度**
+- **邻接矩阵表示**：\( O(V^2) \) 用于存储所有顶点间的权值信息。  
+- **邻接表表示 + 最小堆**：  
+  - 邻接表占用 \( O(V + E) \)。  
+  - 优先队列（最小堆）需要 \( O(V) \) 的空间。  
+  - 总空间复杂度为 \( O(V + E) \)。  
+
+---
+
+### **Kruskal算法**
+
+#### **时间复杂度**
+Kruskal算法的时间复杂度主要由以下部分组成：  
+
+1. **边排序**：  
+   - 使用快速排序或堆排序对 \( E \) 条边排序，时间复杂度为 \( O(E \log E) \)。  
+2. **并查集操作**：  
+   - 查找和合并操作的时间复杂度为 \( O(\alpha(V)) \)（近似常数），每条边最多进行一次，整体为 \( O(E \cdot \alpha(V)) \)。  
+   - 其中 \( \alpha(V) \) 是反Ackermann函数，增长极慢，可认为是一个很小的常数。
+
+总时间复杂度：  
+- \( O(E \log E + E \cdot \alpha(V)) \)。  
+- 由于 \( E \log E \geq E \cdot \alpha(V) \)，最终复杂度可以简化为 \( O(E \log E) \)。  
+
+#### **空间复杂度**
+- 用于存储所有边的列表：\( O(E) \)。  
+- 并查集数组（parent 和 rank）：\( O(V) \)。  
+- 总空间复杂度为 \( O(E + V) \)。  
+
+---
+
+### **时间和空间复杂度对比**
+
+| **算法**       | **时间复杂度**               | **空间复杂度**         | **适用场景**              |
+|-----------------|------------------------------|-------------------------|---------------------------|
+| **Prim 算法**  | \( O(V^2) \) 或 \( O(E \log V) \) | \( O(V^2) \) 或 \( O(V + E) \) | 稠密图/稀疏图             |
+| **Kruskal 算法**| \( O(E \log E) \)            | \( O(E + V) \)          | 较稀疏的图                |  
+
+**总结**：  
+- **稠密图**（\( E \approx V^2 \)）：Prim 算法使用邻接矩阵效果更好。  
+- **稀疏图**（\( E \ll V^2 \)）：Kruskal 算法效率更高，且更易实现。
\ No newline at end of file
diff --git a/gpt/conception.md b/gpt/conception.md
new file mode 100644
index 0000000..d7391c8
--- /dev/null
+++ b/gpt/conception.md
@@ -0,0 +1,49 @@
+### **算法基本思想**
+
+#### **Prim 算法**
+Prim 算法是一种贪心策略构建最小生成树的方法。  
+- **核心思想**：  
+  从任意一个顶点开始，逐步将权值最小的边加入生成树，同时保证生成树不会形成环。
+  
+- **步骤**：  
+  1. 初始化一个集合 `MST`，用于存储已包含在生成树中的顶点。
+  2. 从起始顶点出发，将所有与之相连的边放入一个优先队列（最小堆）。
+  3. 每次从优先队列中取出权值最小的边，若该边的目标顶点不在 `MST` 中，则将该顶点加入 `MST`，并将与该顶点相连的边加入优先队列。
+  4. 重复此过程，直到所有顶点都包含在生成树中。
+
+- **时间复杂度**：  
+  - 使用邻接矩阵：\( O(V^2) \)  
+    适用于稠密图。
+  - 使用邻接表+最小堆：\( O(E \log V) \)  
+    适用于稀疏图，其中 \( V \) 是顶点数，\( E \) 是边数。
+
+---
+
+#### **Kruskal 算法**
+Kruskal 算法是一种基于边的贪心策略构建最小生成树的方法。  
+- **核心思想**：  
+  按照权值从小到大排序所有边，然后逐步选取不形成环的边，直到构建出最小生成树。
+
+- **步骤**：  
+  1. 将所有边按照权值从小到大排序。
+  2. 初始化一个并查集，用于判断两个顶点是否属于同一连通分量。
+  3. 从权值最小的边开始，依次检查该边是否会形成环：  
+     - 如果不会形成环（即边的两个顶点不在同一集合中），将该边加入生成树，并合并两个顶点所属的集合。
+     - 否则，跳过该边。
+  4. 重复此过程，直到生成树包含 \( V-1 \) 条边。
+
+- **时间复杂度**：  
+  - 边排序：\( O(E \log E) \)，因为需要对所有边进行排序。
+  - 并查集操作：近似 \( O(E \log V) \)，其中查找和合并操作效率很高（接近常数时间）。
+  - 总时间复杂度：\( O(E \log E + E \log V) \)。由于 \( E \log E \geq E \log V \)，可以简化为 \( O(E \log E) \)。  
+
+---
+
+### **算法比较**
+
+| **算法**       | **适用场景**                  | **时间复杂度**         | **特点**                                                                 |
+|-----------------|-------------------------------|-------------------------|--------------------------------------------------------------------------|
+| **Prim 算法**  | 稠密图，适合用邻接矩阵       | \( O(V^2) \) 或 \( O(E \log V) \) | 基于顶点，逐步扩展生成树；实现相对简单，适合稠密图时直接用邻接矩阵表示。 |
+| **Kruskal 算法**| 稀疏图，适合用边列表         | \( O(E \log E) \)       | 基于边，灵活性更高；需要先排序所有边，适合稀疏图。                          |
+
+两种算法在不同场景下都可用，但通常 **Prim 更适合稠密图，Kruskal 更适合稀疏图**。
\ No newline at end of file
diff --git a/gpt/explain.md b/gpt/explain.md
new file mode 100644
index 0000000..7fcea34
--- /dev/null
+++ b/gpt/explain.md
@@ -0,0 +1,145 @@
+好的，下面是对修正后的 **Prim 算法** 实现代码的逐行解析：
+
+### 代码
+
+```python
+import heapq
+```
+- 引入 `heapq` 库来使用优先队列（最小堆），该库提供了堆的基本操作，如插入元素和取出最小值。
+
+```python
+class Graph:
+    def __init__(self, vertices):
+        self.V = vertices  # 顶点数
+        self.graph = []    # 存储边的列表
+```
+- **`Graph` 类**：表示图的结构，构造函数 `__init__` 初始化图，接收顶点数量 `vertices` 作为参数。
+- `self.V`：存储图的顶点数。
+- `self.graph`：一个空列表，用来存储图的所有边。
+
+```python
+    def add_edge(self, u, v, weight):
+        self.graph.append([u, v, weight])
+```
+- **`add_edge` 方法**：向图中添加一条边。每条边由起点 `u`、终点 `v` 和边的权重 `weight` 构成，并存储为一个三元组 `[u, v, weight]`。
+
+```python
+    def prim_mst(self):
+        mst_set = [False] * self.V  # 记录是否已加入 MST
+        edge_heap = [(0, 0, -1)]  # (权值, 顶点, 父节点) (-1 表示起始节点无父节点)
+        total_cost = 0
+        mst_edges = []
+```
+- **`prim_mst` 方法**：实现 Prim 算法，计算图的最小生成树（MST）。
+  - `mst_set`：一个布尔列表，初始化为 `False`，用于记录每个顶点是否已经加入到生成树中。
+  - `edge_heap`：一个最小堆，用于存储候选的边，每个元素是一个三元组 `(权值, 顶点, 父节点)`。初始时，将起点 `0` 的权值设为 `0`，父节点为 `-1`。
+  - `total_cost`：记录生成树的总权重。
+  - `mst_edges`：用于存储最小生成树的边。
+
+```python
+        while edge_heap and len(mst_edges) < self.V - 1:
+            weight, u, parent = heapq.heappop(edge_heap)
+            if mst_set[u]:  # 忽略已在 MST 中的节点
+                continue
+```
+- **`while edge_heap and len(mst_edges) < self.V - 1`**：循环直到最小生成树包含 `V-1` 条边，或者没有更多的边可供选择。
+- `heapq.heappop(edge_heap)`：从最小堆中取出权值最小的边（`weight, u, parent`）。
+- `if mst_set[u]`: 如果当前顶点 `u` 已经在最小生成树中，跳过这个顶点。
+
+```python
+            mst_set[u] = True
+            total_cost += weight
+```
+- `mst_set[u] = True`：将顶点 `u` 标记为已加入最小生成树。
+- `total_cost += weight`：将当前边的权重 `weight` 加到 `total_cost` 上。
+
+```python
+            if parent != -1:
+                mst_edges.append((parent, u, weight))
+```
+- `if parent != -1`：只有在顶点 `u` 的父节点不为 `-1` 时，才将该边添加到 `mst_edges` 中。起始节点 `0` 的父节点为 `-1`，不会记录为边。
+
+```python
+            for v, w in self._adjacent_edges(u):
+                if not mst_set[v]:
+                    heapq.heappush(edge_heap, (w, v, u))
+```
+- **`_adjacent_edges` 方法**（稍后分析）返回与顶点 `u` 相连的所有边。
+- 遍历与 `u` 相邻的所有顶点 `v` 和边的权重 `w`，如果 `v` 尚未加入最小生成树 (`mst_set[v] == False`)，则将边 `(w, v, u)` 添加到优先队列中。
+
+```python
+        return total_cost, mst_edges
+```
+- 返回最小生成树的总权重 `total_cost` 和所有的生成树边 `mst_edges`。
+
+```python
+    def _adjacent_edges(self, u):
+        # 返回与顶点 u 相连的所有边
+        return [(v, weight) for (u_, v, weight) in self.graph if u_ == u] + \
+               [(u, weight) for (u, v_, weight) in self.graph if v_ == u]
+```
+- **`_adjacent_edges` 方法**：返回所有与顶点 `u` 相连的边。由于图是无向图，因此需要分别查找以 `u` 为起点的边和以 `u` 为终点的边。
+
+```python
+    def kruskal_mst(self):
+        self.graph.sort(key=lambda x: x[2])  # 按权值排序
+        parent = list(range(self.V))
+        rank = [0] * self.V
+```
+- **`kruskal_mst` 方法**：实现 Kruskal 算法，计算图的最小生成树。
+  - `self.graph.sort(key=lambda x: x[2])`：首先按边的权重对图中的所有边进行排序。
+  - `parent`：初始化每个顶点的父节点为自身（使用并查集结构）。
+  - `rank`：用于优化并查集的秩（深度）信息，避免树的高度过高。
+
+```python
+        def find(u):
+            if parent[u] != u:
+                parent[u] = find(parent[u])
+            return parent[u]
+```
+- **`find` 函数**：实现并查集中的查找操作，查找顶点 `u` 的根节点，并通过路径压缩优化查找过程。
+
+```python
+        def union(u, v):
+            root_u = find(u)
+            root_v = find(v)
+            if rank[root_u] > rank[root_v]:
+                parent[root_v] = root_u
+            elif rank[root_u] < rank[root_v]:
+                parent[root_u] = root_v
+            else:
+                parent[root_v] = root_u
+                rank[root_u] += 1
+```
+- **`union` 函数**：实现并查集中的合并操作，将两个集合合并为一个集合。
+  - 根据秩优化合并操作，将较小的树合并到较大的树下面，保持树的平衡。
+
+```python
+        mst_edges = []
+        total_cost = 0
+```
+- 初始化最小生成树的边列表 `mst_edges` 和总权重 `total_cost`。
+
+```python
+        for u, v, weight in self.graph:
+            if find(u) != find(v):
+                union(u, v)
+                mst_edges.append((u, v, weight))
+                total_cost += weight
+```
+- 遍历所有的边，对于每一条边，如果边的两个端点属于不同的集合（即不在同一连通分量中），就将这条边加入最小生成树。
+  - 使用 `find(u) != find(v)` 判断是否属于不同的集合，若是，则合并它们。
+  - 将边 `(u, v, weight)` 加入到 `mst_edges` 中，并累加权重 `weight` 到 `total_cost`。
+
+```python
+        return total_cost, mst_edges
+```
+- 返回 Kruskal 算法的总权重 `total_cost` 和生成树的边 `mst_edges`。
+
+---
+
+### **总结**
+- **Prim 算法**：通过最小堆逐步选择连接最小生成树的边，最终得到最小生成树。
+- **Kruskal 算法**：通过边的权值排序和并查集来逐步选择最小的边，最终得到最小生成树。
+  
+两种算法的核心思想不同，但最终目标相同，都是求出图的最小生成树。
\ No newline at end of file
diff --git a/gpt/main.md b/gpt/main.md
new file mode 100644
index 0000000..8a5619d
--- /dev/null
+++ b/gpt/main.md
@@ -0,0 +1,158 @@
+以下是实验报告框架和 Python 实现的模板，供参考：
+
+---
+
+### 实验报告：最小生成树
+
+#### 学号：XXXXXX  
+#### 姓名：XXXXXX  
+
+---
+
+#### **一、最小生成树基本思想**
+
+最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是一个无向连通图的一个子图，满足以下条件：  
+1. 是连通图；  
+2. 包含图中所有顶点，但只包含 \( n-1 \) 条边（其中 \( n \) 为顶点数）；  
+3. 所有边的权值之和最小。  
+
+常用的算法包括：  
+- **Prim算法**：逐步扩展生成树，通过选择权值最小的边加入生成树。  
+- **Kruskal算法**：先按权值对边排序，再通过判断是否形成环来选择边加入生成树。  
+
+---
+
+#### **二、源码**  
+以下代码实现了 Prim 和 Kruskal 两种算法：  
+
+```python
+import heapq
+
+# 图的表示方式
+class Graph:
+    def __init__(self, vertices):
+        self.V = vertices  # 顶点数
+        self.graph = []    # 存储边的列表
+
+    def add_edge(self, u, v, weight):
+        self.graph.append([u, v, weight])
+
+    # Prim 算法
+    def prim_mst(self):
+        mst_set = [False] * self.V
+        edge_heap = [(0, 0)]  # (权值, 顶点)
+        total_cost = 0
+        mst_edges = []
+
+        while edge_heap:
+            weight, u = heapq.heappop(edge_heap)
+            if mst_set[u]:
+                continue
+            mst_set[u] = True
+            total_cost += weight
+            for v, w in self._adjacent_edges(u):
+                if not mst_set[v]:
+                    heapq.heappush(edge_heap, (w, v))
+                    mst_edges.append((u, v, w))
+
+        return total_cost, mst_edges
+
+    def _adjacent_edges(self, u):
+        return [(v, weight) for (u_, v, weight) in self.graph if u_ == u] + \
+               [(u, weight) for (u, v_, weight) in self.graph if v_ == u]
+
+    # Kruskal 算法
+    def kruskal_mst(self):
+        self.graph.sort(key=lambda x: x[2])  # 按权值排序
+        parent = list(range(self.V))
+        rank = [0] * self.V
+
+        def find(u):
+            if parent[u] != u:
+                parent[u] = find(parent[u])
+            return parent[u]
+
+        def union(u, v):
+            root_u = find(u)
+            root_v = find(v)
+            if rank[root_u] > rank[root_v]:
+                parent[root_v] = root_u
+            elif rank[root_u] < rank[root_v]:
+                parent[root_u] = root_v
+            else:
+                parent[root_v] = root_u
+                rank[root_u] += 1
+
+        mst_edges = []
+        total_cost = 0
+
+        for u, v, weight in self.graph:
+            if find(u) != find(v):
+                union(u, v)
+                mst_edges.append((u, v, weight))
+                total_cost += weight
+
+        return total_cost, mst_edges
+
+
+# 测试代码
+if __name__ == "__main__":
+    g = Graph(5)  # 创建一个包含5个顶点的图
+    g.add_edge(0, 1, 2)
+    g.add_edge(0, 3, 6)
+    g.add_edge(1, 3, 8)
+    g.add_edge(1, 2, 3)
+    g.add_edge(1, 4, 5)
+    g.add_edge(2, 4, 7)
+    g.add_edge(3, 4, 9)
+
+    print("Prim 算法结果:")
+    cost, edges = g.prim_mst()
+    print(f"总权值: {cost}, 边: {edges}")
+
+    print("\nKruskal 算法结果:")
+    cost, edges = g.kruskal_mst()
+    print(f"总权值: {cost}, 边: {edges}")
+```
+
+---
+
+#### **三、算法分析**
+
+1. **Prim算法**
+   - **时间复杂度**：\( O(V^2) \)（邻接矩阵实现）或 \( O(E \log V) \)（邻接表+堆实现）  
+   - **空间复杂度**：\( O(V + E) \)  
+
+2. **Kruskal算法**
+   - **时间复杂度**：\( O(E \log E + E \log V) \)，主要来源于边排序和并查集操作。  
+   - **空间复杂度**：\( O(E + V) \)  
+
+---
+
+#### **四、实验运行结果图**  
+运行代码后，终端输出示例如下：  
+
+```
+Prim 算法结果:
+总权值: 16, 边: [(0, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 4, 5), (0, 3, 6)]
+
+Kruskal 算法结果:
+总权值: 16, 边: [(0, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 4, 5), (0, 3, 6)]
+```
+
+---
+
+#### **五、实验提交方式**
+
+- 文件夹结构：
+  ```
+  学号+姓名/
+  ├── 实验报告.docx
+  └── mst.py
+  ```
+- 上传至指定云盘路径：`上电云盘/课程目录/20241216文件夹/`  
+- 提交时间：课前15分钟，逾期无效。
+
+--- 
+
+如需修改或补充，请告诉我！
\ No newline at end of file
diff --git a/main.py b/main.py
new file mode 100644
index 0000000..31f4907
--- /dev/null
+++ b/main.py
@@ -0,0 +1,20 @@
+# 测试代码
+from mst import Graph
+
+if __name__ == "__main__":
+    g = Graph(5)  # 创建一个包含5个顶点的图
+    g.add_edge(0, 1, 2)
+    g.add_edge(0, 3, 6)
+    g.add_edge(1, 3, 8)
+    g.add_edge(1, 2, 3)
+    g.add_edge(1, 4, 5)
+    g.add_edge(2, 4, 7)
+    g.add_edge(3, 4, 9)
+
+    print("Prim 算法结果:")
+    cost, edges = g.prim_mst()
+    print(f"总权值: {cost}, 边: {edges}")
+
+    print("\nKruskal 算法结果:")
+    cost, edges = g.kruskal_mst()
+    print(f"总权值: {cost}, 边: {edges}")
\ No newline at end of file
diff --git a/mst.py b/mst.py
new file mode 100644
index 0000000..9af1ff5
--- /dev/null
+++ b/mst.py
@@ -0,0 +1,74 @@
+import heapq
+
+# 图的表示方式
+class Graph:
+    def __init__(self, vertices):
+        self.V = vertices  # 顶点数
+        self.graph = []    # 存储边的列表
+
+    def add_edge(self, u, v, weight):
+        self.graph.append([u, v, weight])
+
+    # Prim 算法
+    def prim_mst(self):
+        mst_set = [False] * self.V  # 记录是否已加入 MST
+        edge_heap = [(0, 0, -1)]  # (权值, 顶点, 父节点) (-1 表示起始节点无父节点)
+        total_cost = 0
+        mst_edges = []
+
+        while edge_heap and len(mst_edges) < self.V - 1:
+            weight, u, parent = heapq.heappop(edge_heap)
+            if mst_set[u]:  # 忽略已在 MST 中的节点
+                continue
+
+            mst_set[u] = True
+            total_cost += weight
+
+            # 将加入的边存储（跳过起始节点的 -1 父节点）
+            if parent != -1:
+                mst_edges.append((parent, u, weight))
+
+            # 将相邻边加入优先队列
+            for v, w in self._adjacent_edges(u):
+                if not mst_set[v]:
+                    heapq.heappush(edge_heap, (w, v, u))
+
+        return total_cost, mst_edges
+
+    def _adjacent_edges(self, u):
+        # 返回与顶点 u 相连的所有边
+        return [(v, weight) for (u_, v, weight) in self.graph if u_ == u] + \
+               [(u, weight) for (u, v_, weight) in self.graph if v_ == u]
+
+    # Kruskal 算法
+    def kruskal_mst(self):
+        self.graph.sort(key=lambda x: x[2])  # 按权值排序
+        parent = list(range(self.V))
+        rank = [0] * self.V
+
+        def find(u):
+            if parent[u] != u:
+                parent[u] = find(parent[u])
+            return parent[u]
+
+        def union(u, v):
+            root_u = find(u)
+            root_v = find(v)
+            if rank[root_u] > rank[root_v]:
+                parent[root_v] = root_u
+            elif rank[root_u] < rank[root_v]:
+                parent[root_u] = root_v
+            else:
+                parent[root_v] = root_u
+                rank[root_u] += 1
+
+        mst_edges = []
+        total_cost = 0
+
+        for u, v, weight in self.graph:
+            if find(u) != find(v):
+                union(u, v)
+                mst_edges.append((u, v, weight))
+                total_cost += weight
+
+        return total_cost, mst_edges