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### **Prim算法**
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#### **时间复杂度**
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Prim算法的时间复杂度取决于图的存储方式和优先队列的使用：
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1. **邻接矩阵表示**：
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- 每次选择最小权值的边需要遍历所有顶点，时间复杂度为 \( O(V^2) \)。
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- 适合**稠密图**（边较多时，通常 \( E \approx V^2 \)）。
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2. **邻接表表示 + 最小堆**：
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- 初始化堆时，将所有边加入堆的时间复杂度为 \( O(V \log V) \)。
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- 在堆中插入或删除边的操作为 \( O(\log V) \)，遍历所有边需要 \( O(E \log V) \)。
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- 总复杂度为 \( O(E \log V) \)，适合**稀疏图**（边较少时，通常 \( E \ll V^2 \)）。
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#### **空间复杂度**
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- **邻接矩阵表示**：\( O(V^2) \) 用于存储所有顶点间的权值信息。
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- **邻接表表示 + 最小堆**：
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- 邻接表占用 \( O(V + E) \)。
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- 优先队列（最小堆）需要 \( O(V) \) 的空间。
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- 总空间复杂度为 \( O(V + E) \)。
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### **Kruskal算法**
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#### **时间复杂度**
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Kruskal算法的时间复杂度主要由以下部分组成：
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1. **边排序**：
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- 使用快速排序或堆排序对 \( E \) 条边排序，时间复杂度为 \( O(E \log E) \)。
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2. **并查集操作**：
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- 查找和合并操作的时间复杂度为 \( O(\alpha(V)) \)（近似常数），每条边最多进行一次，整体为 \( O(E \cdot \alpha(V)) \)。
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- 其中 \( \alpha(V) \) 是反Ackermann函数，增长极慢，可认为是一个很小的常数。
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总时间复杂度：
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- \( O(E \log E + E \cdot \alpha(V)) \)。
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- 由于 \( E \log E \geq E \cdot \alpha(V) \)，最终复杂度可以简化为 \( O(E \log E) \)。
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#### **空间复杂度**
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- 用于存储所有边的列表：\( O(E) \)。
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- 并查集数组（parent 和 rank）：\( O(V) \)。
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- 总空间复杂度为 \( O(E + V) \)。
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### **时间和空间复杂度对比**
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| **算法** | **时间复杂度** | **空间复杂度** | **适用场景** |
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| **Prim 算法** | \( O(V^2) \) 或 \( O(E \log V) \) | \( O(V^2) \) 或 \( O(V + E) \) | 稠密图/稀疏图 |
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| **Kruskal 算法**| \( O(E \log E) \) | \( O(E + V) \) | 较稀疏的图 |
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**总结**：
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- **稠密图**（\( E \approx V^2 \)）：Prim 算法使用邻接矩阵效果更好。
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- **稀疏图**（\( E \ll V^2 \)）：Kruskal 算法效率更高，且更易实现。
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