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好的，以下是使用 **Dinic's Algorithm** 实现最大流问题的 Python 代码。Dinic 算法比 Edmonds-Karp 更高效，尤其是在稀疏图中。它使用分层网络和每一层的增广路径来提高效率。
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### **Dinic算法的Python实现：**
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```python
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from collections import deque
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class MaxFlow:
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def __init__(self, vertices):
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self.V = vertices # 图的顶点数
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self.graph = [[] for _ in range(vertices)] # 邻接表表示图
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self.level = [-1] * vertices # 层次标记
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self.ptr = [0] * vertices # 每个节点在其邻接边中的指针
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def add_edge(self, u, v, capacity):
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"""添加从u到v的边，并反向边的容量初始化为0"""
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self.graph[u].append([v, capacity, len(self.graph[v])]) # (目标点, 容量, 反向边的索引)
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self.graph[v].append([u, 0, len(self.graph[u]) - 1]) # (源点, 容量0, 反向边的索引)
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def bfs(self, source, sink):
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"""BFS进行分层图构建"""
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queue = deque([source])
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self.level = [-1] * self.V
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self.level[source] = 0
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while queue:
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u = queue.popleft()
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for v, cap, _ in self.graph[u]:
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if self.level[v] == -1 and cap > 0: # 未访问且容量大于0
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self.level[v] = self.level[u] + 1
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if v == sink:
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return True
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queue.append(v)
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return False
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def dfs(self, u, sink, flow):
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"""DFS寻找增广路径并更新残余图"""
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if u == sink:
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return flow
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while self.ptr[u] < len(self.graph[u]):
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v, cap, rev = self.graph[u][self.ptr[u]]
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if self.level[v] == self.level[u] + 1 and cap > 0:
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current_flow = min(flow, cap)
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result = self.dfs(v, sink, current_flow)
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if result > 0:
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# 更新正向边和反向边
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self.graph[u][self.ptr[u]][1] -= result
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self.graph[v][rev][1] += result
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return result
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self.ptr[u] += 1
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return 0
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def dinic(self, source, sink):
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"""Dinic算法计算最大流"""
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max_flow = 0
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while self.bfs(source, sink):
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self.ptr = [0] * self.V
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while True:
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flow = self.dfs(source, sink, float('Inf'))
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if flow == 0:
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break
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max_flow += flow
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return max_flow
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# 示例
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if __name__ == "__main__":
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vertices = 6
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g = MaxFlow(vertices)
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# 添加边及其容量
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g.add_edge(0, 1, 16)
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g.add_edge(0, 2, 13)
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g.add_edge(1, 2, 10)
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g.add_edge(1, 3, 12)
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g.add_edge(2, 1, 4)
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g.add_edge(2, 4, 14)
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g.add_edge(3, 2, 9)
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g.add_edge(3, 5, 20)
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g.add_edge(4, 3, 7)
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g.add_edge(4, 5, 4)
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source = 0 # 源点
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sink = 5 # 汇点
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max_flow = g.dinic(source, sink)
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print("最大流为:", max_flow)
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```
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### **代码解释：**
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1. **添加边：** `add_edge(u, v, capacity)` 方法将一条从节点 `u` 到 `v` 的边加入图中，且边的容量为 `capacity`。同时，在反向边上初始化容量为 0。
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2. **BFS（层次图构建）：** `bfs(source, sink)` 方法通过广度优先搜索构建分层网络，标记每个节点的层次，帮助找增广路径。
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3. **DFS（增广路径）：** `dfs(u, sink, flow)` 方法通过深度优先搜索，在层次网络中寻找增广路径并进行流量传递。
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4. **Dinic算法：** `dinic(source, sink)` 方法利用层次图和增广路径相结合的方式进行多轮流量增广，直到没有更多增广路径为止。
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### **算法分析：**
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1. **时间复杂度：**
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- 每轮BFS的时间复杂度为 \(O(V + E)\)，
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- 每轮DFS的时间复杂度为 \(O(E)\)。
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- 总体时间复杂度为 \(O(V^2 E)\)，在稀疏图中，相较于Edmonds-Karp更为高效。
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2. **空间复杂度：**
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- 使用了邻接表来表示图，空间复杂度为 \(O(V + E)\)，其中V为节点数，E为边数。
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### **实验输出：**
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运行代码后，输出的最大流值如下：
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最大流为: 23
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### **总结：**
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使用 Dinic 算法可以在稀疏图中高效计算最大流，比 Edmonds-Karp 更加高效，尤其在实际问题中，当图的边数和顶点数较大时，Dinic 算法的表现尤为突出。
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如果有任何问题或者需要进一步的解释，随时告诉我！
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